Propriétés du module

Propositions

•  Pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(\left\vert z \right\vert^2=z\overline{z}\) .
  
•  Pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(\left\vert z \right\vert=0 \ \Longleftrightarrow \ z=0\) .
  

Démonstration

• Soit `z=x+iy \in \mathbb{C}` avec et  `x \in \mathbb{R}`  et `y \ in \mathbb{R}` . On a :
  \(\begin{align*} \left\vert z \right\vert^2 = \left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^2 = x^2+y^2 = z\overline{z}. \end{align*}\)
• Soit `z \in \mathbb{C}` tel que \(\left\vert z \right\vert=0\) . On note  \(\text M\) le point du plan complexe d'affixe `z` .
  Alors \(\text O\text M=0\) , autrement dit  \(\text M\) et  \(\text O\) sont confondus, donc \(z=z_\text O=0\) .
  Réciproquement, il est clair que si `z=0`  alors \(\left\vert z \right\vert=\left\vert 0 \right\vert=0\) .